Гонткевич В.С. Собственные колебания пластинок и оболочек (1964). 288 с.

Кайсина М.И. «Собственные колебания кольца жидкости с учетом динамики линий контакта трех сред» Математическое моделирование в естественных науках, № 1, с. 114-119 (2016)

Рассматриваются собственные колебания цилиндрического газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью конечного объёма. Пузырек ограничен в осевом направлении двумя параллельными твердыми плоскостями. Внешняя поверхность окружающей жидкости деформируемая. Динамика контактной линии учитывается с помощью эффективного граничного условия: скорость движения контактной линии предполагалась пропорциональной отклонению краевого угла от равновесного значения. Равновесные краевые углы прямые.

Ватульян А.О., Рынкова А.А. «Об одной модели изгибных колебаний пьезоэлектрических биморфов с разрезными электродами и ее приложениях» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 4, с. 114-122 (2007)

Исследованы стационарные колебания и статический изгиб биморфной пластины, состоящей из двух пьезокерамических слоев с бесконечно тонким разрезным электродом между ними. Предложена модель, учитывающая корневую особенность структуры электрического поля на границе раздела областей разрезного электрода. Для плоской задачи получено уравнение движения, сформулированы граничные условия и условия сопряжения на границе раздела областей разрезного электрода. Для пьезокерамики PZT-4 рассчитаны частоты резонанса и антирезонанса, исследована зависимость динамического коэффициента электромеханической связи от размера внутреннего электрода. Показано, что использование пластины с разрезным электродом позволяет повысить эффективность возбуждения колебаний по сравнению со случаем сплошного внутреннего электрода. В случае статического изгиба пластины-полосы определен размер внутреннего электрода, обеспечивающий значительное увеличение прогиба в центре биморфа.

Шляхин Д.А. «Вынужденные нестационарные осесимметричные колебания пьезокерамической тонкой биморфной пластины» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 77-85 (2013)

Рассматривается нестационарная осесимметричная задача для тонкой аксиально поляризованной биморфной пластины при действии на торцевых поверхностях электрического потенциала, являющегося произвольной функцией радиальной координаты и времени. На основании теории Тимошенко методом конечных интегральных преобразований построено новое замкнутое решение. Полученные расчетные соотношения позволяют исследовать напряженно-деформированное состояние пьезокерамических элементов со сплошными и разрезными круговыми электродами.

Шляхин Д.А. «Вынужденные осесимметричные колебания толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 4, с. 90-100 (2014)

Построено новое замкнутое решение осесимметричной нестационарной задачи теории электроупругости для круглой толстой пьезокерамической пластины с жестким закреплением ее внешней цилиндрической поверхности. Использование смешанных краевых условий для криволинейной плоскости позволяет получить достаточно простые расчетные соотношения. Замкнутое решение построено методом разложения по собственным вектор-функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. С помощью полученных соотношений определяется частота собственных колебаний, напряженно-деформированное состояние исследуемого элемента, а также все характеристики индуцируемого электрического поля.

Еремеев В.А., Наседкин А.В. «О собственных колебаниях наноразмерных пьезоэлектрических тел с граничными условиями контактного типа» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 15-32 (2015)

Изучены однородные задачи о колебаниях пьезоэлектрических тел наноразмеров с учетом поверхностных напряжений и электрических зарядов. Рассмотрены граничные условия, моделирующие контакт тела без трения с жесткими массивными штампами и покрытия системой разомкнутых и заземленных электродов. Приведены слабые постановки данных задач. Доказана вещественность, дискретность спектра и полнота собственных функций. Сформулированы теоремы об изменении собственных частот при учете поверхностных эффектов и при варьировании механических и электрических граничных условий и материальных характеристик. С использованием конечно-элементных аппроксимаций получены конечномерные обобщенные задачи на собственные значения. Приведены результаты конечно-элементных расчетов модельной задачи, иллюстрирующие влияние поверхностных эффектов.

Кукуджанов С.Н. «О влиянии ортотропии на собственные колебания предварительно напряженных оболочек вращения, близких к цилиндрическим» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 158-165 (1998)

Базило К.В. «Возбуждение колебаний изгиба в цилиндровых пъезоелементах» Вестник Хмельницкого государственного университета. Технические науки (Вiсник Хмельницького нацiонального унiверситету. Технiчнi науки), № 5, с. 182-184 (2014)

Работа посвящена совершенствованию пьезоэлектрических преобразователей. Особенное место пьезоэлектрические преобразователи занимают в электро и гидроакустике, где они используются для излучения и приема акустических колебаний в воздушной или водной среде. Общим заданием при совершенствовании пьезоэлектрических излучателей является увеличение дальности их действия. Для изготовления электроакустических преобразователей используются мономорфные и биморфные элементы. Описан способ возбуждения колебаний изгиба в дисковых мономорфных пьезоэлементах. Приведены схемы подключения радиально поляризуемого цилиндрового пьезоэлемента для возбуждения колебаний изгиба при разном взаимном расположении векторов электрического поля напряжения возбуждения и вектора поляризации. Создание двух контуров возбуждения в схеме пьезоэлемента позволило повысить уровень звукового давления.

Малышев А.П. «Численное моделирование вынужденных нелинейных колебаний нити» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 32-38 (2008)

Рассматриваются пространственные нелинейные колебания упругой нити при плоском гармоническом движении одного из его концов. Другой конец нити неподвижен. Для моделирования используется монотонная разностная ENO-схема второго порядка точности. Исследуются амплитудно-частотные характеристики, биения колебаний в вертикальной и горизонтальной плоскостях, форма нити и ее траектории. На основе анализа движения нити обсуждается возможность применения одномодового приближения для описания ее динамики.

Иванова Е.А. «Асимптотический и численный анализ высокочастотных свободных колебаний прямоугольных пластин» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 163-174 (1998)

Бочкарев С.А., Лекомцев С.В., Матвеенко В.П. «Численное моделирование пространственных колебаний цилиндрических оболочек, частично заполненных жидкостью» Вычислительные технологии, 18, № 2, с. 12-24 (2013)

Работа посвящена численному анализу собственных колебаний вертикально и горизонтально ориентированных цилиндрических оболочек при разном уровне заполнения жидкостью и различных вариантах граничных условий, задаваемых на торцах упругой конструкции. Решение задачи осуществляется в трёхмерной постановке с использованием метода конечных элементов.

Поручиков В.Б. «Реакция упругой цилиндрической оболочки на импульсное воздействие» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 172-178 (2000)

Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. «Собственные колебания однородной мембраны» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 179-190 (2000)

Юдин А.С. «Вибрационные модели структурно-неоднородных оболочек» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 3, с. 158-169 (2000)

Барановский Г.К., Кадомцев И.Г. «Свободные колебания жесткозакрепленной прямоугольной пластины» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 3, с. 170-178 (2000)

Кукуджанов С.Н. «Собственные колебания предварительно закрученных оболочек вращения, близких к цилиндрическим» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 4, с. 159-164 (2000)

Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. «Плоская задача о вертикальном ударе цилиндрической оболочки по упругому полупространству» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 151-158 (2000)

Акуленко Л.Д., Нестеров С.В., Попов А.Л. «Собственные колебания защемленной по краю эллиптической пластины» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 174-180 (2001)

Король Е.З. «К определению собственных частот малых продольных и поперечных колебаний тонких ортотропных круговых пластин» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 163-174 (2001)

Акуленко Л.Д., Карпов И.И., Нестеров С.В. «Собственные колебания прямоугольной мембраны с резко изменяющейся поверхностной плотностью» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 3, с. 159-171 (2001)

Денисов Г.Г. «К вопросу о давлении волн на преграду в случае поперечных колебаний струны» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 187-192 (2001)

Гулгазарян Г.Р. «О локализованных собственных колебаниях у свободного торца полубесконечной замкнутой круговой цилиндрической оболочки» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 180-192 (2003)

Демьянов Ю.А., Демьянова Е.Г., Лобанова С.С. «Распространение поперечно-продольных волн в натянутой струне при ударе по ней телом произвольной формы» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 26-39 (2003)

Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. «Собственные поперечные колебания неоднородного стержня» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 3, с. 179-192 (2003)

Кукуджанов С.Н. «О влиянии граничных условий на собственные колебания предварительно напряженных оболочек вращения, близких к цилиндрическим» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 126-137 (2003)

Исследуется влияние граничных условий на форму волнообразования и величину низших собственных частот оболочек вращения, близких к цилиндрическим. Предполагается, что оболочка находится под предварительным действием нормального давления. Рассматриваются оболочки средней длины. Предполагается, что форма образующей срединной поверхности оболочки описывается достаточно гладкой, знакопостоянной функцией. Проведено исследование и упрощение соответствующих уравнений и граничных условий. Для случая, когда образующая срединной поверхности изменяется по параболическому закону, приведенное уравнение отличается от известного дополнительным членом, который может иметь такой же порядок, как и другие члены. Рассмотрены оболочки как положительной, так и отрицательной гауссовой кривизны. Исследованы случаи, когда оба края оболочки жестко закреплены и когда один край свободно оперт, а другой жестко закреплен. Приведены формулы и графики зависимости наименьшей частоты и формы волнообразования от вида граничных условий, предварительного напряжения и амплитуды отклонения оболочки от цилиндра (порядка толщины). Показана различная степень влияния граничных условий на оболочки положительной и отрицательной гауссовой кривизны в зависимости от амплитуды отклонения от цилиндрической формы и предварительного напряжения.

Кукуджанов С.Н. «О влиянии граничных условий на собственные колебания предварительно напряженных оболочек вращения, близких к цилиндрическим» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 126-136 (2003)

Крысько В.А., Щекатурова Т.В. «Хаотические колебания конических оболочек» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 153 (2004)

Исследуются хаотические колебания детерминированных геометрически нелинейных пологих изотропных упругих конических оболочек вращения при действии поперечной знакопеременной нагрузки. Влияние сил инерции в направлениях, касательных к срединной поверхности, и инерция поворота нормального сечения не учитываются. Используется метод Ритца. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений решается методом Рунге–Кутта четвертого порядка точности. Численный анализ проводится на основе нелинейной динамики и качественной теории дифференциальных уравнений. Выявлены новые сценарии перехода колебаний гибких конических оболочек из состояния гармонических колебаний в хаотические. Изучается вопрос о развитии различных форм колебаний в зависимости от ряда параметров: стрелы подъема оболочки над планом; амплитуды и частоты вынуждающей силы; количества членов, удерживаемых в разложении основных функций в ряды, что позволяет рассмотреть важный вопрос о переходе распределенной системы к дискретной и решить вопрос, исчезает ли хаос при достаточно большом числе членов разложения основных функций в ряды.

Кукуджанов С.Н. «Влияния меридиональных усилий на собственные колебания и динамическую устойчивость оболочки вращения, близкой по форме к цилиндрической» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 161-173 (2005)

Исследуется влияние меридиональных усилий (как сжимающих, так и растягивающих), приложенных к краям оболочки вращения, близкой к цилиндрической, на форму волнообразования, величину наинизших собственных частот и динамическую устойчивость. Рассматриваются оболочки средней длины, у которых форма образующей срединной поверхности описывается параболической функцией. На основании теории пологих оболочек получено разрешающее уравнение колебаний соответствующей предварительно напряженной оболочки. Приведенное уравнение отличается от известного дополнительным членом, который может иметь такой же порядок, как и другие учтенные члены. Рассмотрены оболочки как положительной, так и отрицательной гауссовой кривизны. Предполагалось, что края оболочки свободно оперты. Приведены в безразмерной форме формулы и универсальные кривые зависимости наименьшей частоты, формы волнообразования и границ областей динамической неустойчивости от предварительного напряжения и амплитуды отклонения оболочки от цилиндра. Показано, что при наличии предварительных напряжений, отклонение оболочки от цилиндрической формы (порядка толщины) могут существенно изменить низшие частоты, форму волнообразования и границы областей динамической неустойчивости.

Веклич Н.А. «Распространение упругих волн в прямоугольном клине при ударе гранью о плоскую неподвижную преграду» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 70-86 (2005)

Приведено точное аналитическое решение плоской задачи об ударе упругого прямоугольного клина (четверти плоскости) о неподвижную идеально гладкую преграду. Она является составной частью более сложной плоской задачи о соударении двух упругих стержней, когда не учитываются отражения волн от свободных боковых поверхностей стержней. Кроме того, ее можно рассматривать как частный случай более сложной задачи о волновом движении упругой полуплоскости со свободной поверхностью, при подходящих начальных условиях. Общее решение волновой задачи для полуплоскости при произвольных начальных условиях было ранее. Задача о соударении двух упругих стержней впервые рассматривалась методом функционально-инвариантных решений, но в ряде существенных деталей это решение оказалось несовершенным. Некоторые критические замечания по этому поводу были высказаны ранее. Анализ решения показывает, что противоречивость данной там волновой картины, некоторых графиков и выводов вызвана невыполнением граничных условий для касательных напряжений на свободной боковой поверхности стержня. В предлагаемой работе система уравнений движения, записанная в перемещениях, решалась для клина с помощью интегральных преобразований, применявшихся, в частности, при исследовании удара акустической полосы о преграду. Полученное решение дает возможность полного количественного описания всех характеристик распространения упругих волн в клине при ударе о преграду в принятой линейной постановке задачи. На его основе можно проводить динамические расчеты, связанные с учетом распространения упругих волн в твердых телах. Оно может быть применено в качестве тестового примера, необходимого при разработке правильных и достоверных численных методов решения двумерных динамических задач теории упругости. Оно позволяет получить обоснованную теоретическую оценку условий, при которых применима приближенная одномерная теория Сен-Венана соударения упругих стержней.

Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров А.М. «Нестационарные колебания системы из двух эксцентричных сферических оболочек с акустическим заполнителем» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 81-88 (2005)

Изучается осесимметричная задача о распространении волн в акустической среде, ограниченной двумя эксцентрично расположенными тонкими упругими сферическими оболочками. Она сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений в пространстве преобразований Лапласа. Оригиналы искомых функций находятся с помощью вычетов. Подобные задачи и методы их решений рассмотрены и ранее

Крысько В.А., Кравцова И.В. «Управление хаотическими колебаниями гибких сферических оболочек» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 161-172 (2006)

Предложен метод управления хаотическими колебаниями гибких сферических оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки путем синхронного воздействия опорного знакопеременного момента или поперечной локальной также знакопеременной нагрузки.

Кукуджанов С.Н. «Колебания и динамическая устойчивость оболочек вращения, близких к цилиндрическим, находящихся под действием нормального давления и меридиональных усилий» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 48-59 (2006)

Исследуются собственные колебания и динамическая устойчивость оболочек вращения, близких по форме к цилиндрическим, находящимся под действием меридиональных усилий, равномерно распределенных по торцам оболочки и нормального давления, равномерно распределенного по всей поверхности оболочки. Рассматриваются оболочки средней длины, у которых форма образующей срединной поверхности описывается параболической функцией. На основании теории пологих оболочек получено разрешающее уравнение колебаний предварительно напряженной оболочки. Приведенное уравнение отличается от известного дополнительным членом, который может иметь такой же порядок, как и другие учтенные члены. Рассмотрены оболочки как положительной, так и отрицательной гауссовой кривизны. Предполагалось, что края оболочки свободно оперты. Основное внимание уделялось практически наиболее важным низшим частотам. Приведены в безразмерной форме формулы и универсальные кривые зависимости наименьшей частоты, формы волнообразования и границ областей динамической неустойчивости от предварительного напряжения, гауссовой кривизны и амплитуды отклонения оболочки от цилиндра. Показано, что при наличии предварительных напряжений рассматриваемого вида, отклонение оболочки от цилиндрической формы (порядка толщины) могут существенно изменить низшие частоты, форму волнообразования и границы областей динамической неустойчивости.

Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. «Колебания струн и стержней в неоднородной упругой среде» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 60-68 (2006)

Рассмотрены колебания распределенных систем в неоднородной упругой среде. Исследована зависимость от параметров системы собственных частот соответствующей краевой задачи с сильно изменяющимися коэффициентами для произвольных граничных условий упругого крепления. Доказано, что наличие винклеровского слагаемого в уравнении может приводить к аномальному явлению: увеличению собственных частот низших мод при увеличении длины интервала. Установлены также неизвестные в научной литературе тонкие особенности изменения собственных частот в зависимости от длины интервала и номера моды. Проведено численно-аналитическое исследование примеров, иллюстрирующих характерное поведение решения задачи о свободных колебаниях струн и стержней в упругой среде.

Светлицкий В.А. «Нестационарные колебания стержней при импульсном нагружении» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 69-76 (2006)

Рассмотрены нестационарные колебания стержневых элементов (в общем случае пространственно-криволинейных) приборов и машин, возникающих при импульсном нагружении. Изложен алгоритм определения скоростей (линейных и угловых), вызванных импульсными нагрузками и алгоритм приближенного численного решения системы линейных уравнений колебаний стержня, возникающих после окончания действия импульсной нагрузки.

Георгиевский В.П., Пилипенко П.Б. «Колебания и устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек, скрепленных с упругим цилиндром конечной длины» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 4, с. 137-150 (2006)

Работы, посвященные вопросам колебаний и устойчивости оболочек, скрепленных с упругим цилиндрическим телом (заполнителем), можно разделить на три группы в зависимости от расчетной схемы, принятой для заполнителя. К первой группе работ относятся работы, в которых заполнитель моделируется упругим основанием с одним (основание Винклера) или двумя (основание Пастернака) коэффициентами "постели". Ко второй группе относятся работы, в которых заполнитель рассматривается как упругое трехмерное тело и описывается уравнениями теории упругости, либо уравнениями, получающимися из них путем сведения пространственной задачи к двумерной или одномерной, при этом докритическое напряженное состояние заполнителя не учитывается. К последней, третьей группе, относятся работы, в которых учитывается докритическое состояние заполнителя; в них используются трехмерные линеаризованные уравнения упругой устойчивости, получающиеся путем линеаризации нелинейных уравнений теории упругости. Решение задач с использованием первой модели заполнителя позволяет выявить основные закономерности потери устойчивости оболочек с заполнителем. К более строгой постановке задач по устойчивости оболочек с заполнителем относятся работы второй группы, в этих задачах на торцах упругого заполнителя рассматриваются смешанные граничные условия (равенство нулю осевых напряжений и радиальных перемещений), что соответствует рассмотрению заполнителя в виде бесконечно длинного цилиндра. Случай заполнителя со свободными торцами приближенно рассматривался ранее, задача решалась энергетическим методом и при учете только радиального взаимодействия между оболочкой и заполнителем. Устойчивость оболочек с заполнителем с учетом докритического напряженного состояния заполнителя рассматривалась в работах Власова В.В., Иванова В.А., Германа Ж., Форрестола М. В них показано, что для широкого диапазона изменения жесткостных и геометрических параметров можно пренебречь докрити-ческим состоянием заполнителя и работу его описывать линейными уравнениями Ламе. Несмотря на большое количество работ, посвященных колебаниям и устойчивости ортотропных оболочек, скрепленных с упругим заполнителем, многие вопросы еще полностью не решены: отсутствует строгое решение задачи колебаний и устойчивости сжатой цилиндрической оболочки, скрепленной с упругим заполнителем, при различных граничных условиях на его торцах, в том числе, свободных от напряжений; в недостаточной мере проведена экспериментальная проверка теоретических решений. В статье заполнитель рассматривается как упругое изотропное тело конечной длины с соосным цилиндрическим каналом конечной длины, что со ответствует рассмотрению на его торцах четырех возможных вариантов граничных условий. Математическая постановка задачи заключается в записи дифференциальных уравнений, описывающих поведение рассматриваемой системы, "оболочка–заполнитель", формулировке граничных условий на торцах заполнителя, оболочки и условий на цилиндрических поверхностях заполнителя.

Корчевская Е.А., Михасев Г.И. «Свободные колебания слоистой цилиндрической оболочки, находящейся под действием неравномерно распределенных осевых сил» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 166-176 (2006)

Рассматривается задача о свободных колебаниях слоистой композитной цилиндрической оболочки под действием неоднородного осевого сжатия. Особенностью рассматриваемой задачи является предполагаемая локализация форм колебаний оболочки вблизи наиболее слабой образующей с учетом влияния поперечных сдвигов. С использованием асимптотических методов, в явном виде получены формулы для собственных частот и форм колебаний, учитывающие неоднородность нагружения в окружном направлении и наличие поперечных сдвигов. В качестве примера рассмотрена задача о свободных локализованных колебаниях трехслойной цилиндрической оболочки. Изучено влияние физических свойств слоев на собственные частоты.

Акуленко Л.Д., Коровина Л.И., Нестеров С.В. «Собственные поперечные колебания вращающегося стержня» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 3-14 (2007)

Проводится исследование собственных частот и форм поперечных колебаний стержня, вращающегося вокруг фиксированной на его конце оси. Рассматриваются случаи малых, умеренно больших и асимптотически больших угловых скоростей вращения. Детальный анализ проводится в случае однородного стержня с защемленным левым и со свободным правым концом. С помощью оригинального конструктивного алгоритма на основе понятия "сагиттальной функции" построены зависимости собственных частот и форм от скорости вращения для низших мод колебаний. Установлена эволюция к модели, соответствующей колебаниям быстро вращающейся нити под действием центробежных сил инерции. Показано, что при увеличении угловой скорости вращения собственные частоты возрастают практически линейно. Результаты могут представить интерес для технических приложений применительно к исследованию колебаний чувствительных элементов высокоточных приборов, быстровращающихся протяженных элементов механизмов (лопаток турбин, лопастей воздушных винтов и др.).

Сухоручкин Д.А. «О прецессии стоячей волны в струне с закрепленными концами» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 15-22 (2007)

Выводятся нелинейные дифференциальные уравнения движения струны. В одномодовом приближении исследуется эволюция поперечной стоячей волны. Найдена зависимость скорости прецессии и поправки к частоте колебаний от величины полуосей эллипса, описываемого средней точкой струны.

Гулгазарян Г.Р. «Колебания безмоментной консольной незамкнутой ортотропной цилиндрической оболочки переменной кривизны» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 84-99 (2007)

Исследуются собственные колебания консольной незамкнутой ортотроп-ной цилиндрической оболочки с произвольной плоской направляющей. Предполагается, что оболочка шарнирно опирается на две образующие и ее жесткость на изгиб равна нулю (безмоментная оболочка). Найдены дисперсионные и характеристические уравнения для нахождения характеристики собственных частот и коэффициентов затухания соответствующих форм колебаний. Конкретные вычисления выполнены для оболочек с направляющими в виде параболы с различной величиной кривизны и длины образующей.

Амензаде Р.Ю., Кийко И.А. «Асимптотический анализ влияния сдвига на волновые характеристики многослойной цилиндрической оболочки с жидкостью» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 3, с. 107-114 (2007)

Лисенкова Е.Е. «Движение объекта вдоль одномерной направляющей под действием реакции излучения упругих волн» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 25-37 (2007)

Рассматривается безотрывное движение объекта вдоль одномерной упругой направляющей (балки, струны) под действием давления излучаемых волн. Найдены условия на параметры источников колебаний, действующих на объект и обеспечивающих направленное излучение. На основе точных решений, полученных в предположении равномерности закона движения, исследуются зависимости движущей силы и коэффициента преобразования энергии источников колебаний в энергию поступательного движения объекта (КПД) от скорости последнего. Установлено, что движущийся с закритической скоростью объект, в случае, когда слева от него возбуждается только одна волна, должен быть распределенным, т.е. его размеры сравнимы с длиной излучаемой волны. При этом КПД может быть сколь угодно близок к единице.

Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. «Крутильные волны конечной амплитуды в упругом стержне» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 157-163 (2007)

Предложены математические модели, обобщающие уравнения крутильных колебаний стержней Кулона и Власова учетом геометрической нелинейности. В общем случае нелинейность учитывается, как в системе перемещений (поскольку при кручении стержней вектор перемещения может быть конечным даже при малых деформациях), так и в соотношениях, связывающих между собой перемещения и деформации. Проанализированы нелинейные крутильные стационарные волны. Обнаружен эффект расщепления со-литоноподобных однополярных волн при встречных столкновениях. Показано также, что в ряде случаев наличие нелинейности привносит с собой дисперсию, и нелинейные стационарные волны могут существовать и при отсутствии дисперсии в линейной среде.

Промыслова А.С. «Продольные колебания упругих стержней переменного сечения (концентраторов)» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 118-127 (2008)

Рассмотрены продольные колебания упругих стержней переменного сечения (концентраторов) конического, экспоненциального и катеноидального типов. Получены аналитические выражения коэффициентов усиления концентраторов в случаях задания граничных условий первого и второго рода. Численно рассмотрены различные профили и проведено сравнение коэффициентов усиления в зависимости от типа граничных условий и от номера собственного числа. Замечено, что с увеличением номера собственного числа кривые для коэффициентов усиления как первого, так и второго рода стремятся к предельным кривым.

Демочкин Н.И., Моргачев К.С., Фридман Л.И. «Область достоверности модели Тимошенко в динамике стержней и пластин» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 137-145 (2008)

Сравнением частотного спектра стержней и пластин с учетом инерции вращения и деформаций сдвига (модель Тимошенко) с результатами вычислений на основе решения стационарной динамической задачи теории упругости для канонических тел в прямоугольных и цилиндрических координатах определены границы области достоверности модели Тимошенко: получены значения допустимых в рамках принятых уточненных кинематических гипотез минимальных гибкостей для стержней кольцевого и квадратного сечений и максимальных относительных толщин для кольцевых и квадратных в плане пластин. Приводятся основные зависимости для решения задач о собственных частотах и формах для указанных выше стержней и пластин (модель Тимошенко), а также краткое описание решения аналогичных задач методами теории упругости.

Борщ Е.И., Ващилина Е.В., Гуляев В.И. «Спиральные бегущие волны в упругих стержнях» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 143-149 (2009)

Поставлена задача о свободных изгибных гармонических колебаниях бесконечного вращающегося трубчатого упругого стержня с внутренним потоком жидкости, преднапряженного крутящим моментом и продольной силой. Установлено, что эти колебания могут быть реализованы только в форме бегущих круговых спиральных волн. Показано, что для каждой длины таких волн существует четыре волны, две из которых имеют вид левой спирали, две – правой. Каждая из этих волн распространяется с различной скоростью в положительном и отрицательном направлениях продольной оси стержня Обнаруженные эффекты могут проявляться в бурильных колоннах глубокого бурения.

Корешкова Н.С., Хроматов В.Е. «О влиянии поперечного магнитного поля на спектры частот колебаний пологих оболочек» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 4, с. 165-171 (2009)

При проектировании электрических машин, аппаратов, несущих конструкций плазменных генераторов возникает необходимость исследования влияния магнитных полей на спектры частот колебаний тонкостенных элементов. Основные уравнения магнитоупругих колебаний пластин и оболочек приведены ранее, когда также исследовано и влияние магнитного поля на основные частоты и формы колебаний. Для исследования высших частот и форм колебаний пластин и оболочек весьма эффективным является асимптотический метод Болотина (АМБ). Обзор исследований по применению АМБ к задачам колебаний и устойчивости упругих систем дан ранее. На основе АМБ были получены оценки для плотности собственных частот колебаний пологих оболочек и исследовано влияние безмоментного напряженного состояния на распределение частот колебаний цилиндрических и сферических оболочек. Аналогично и влияние продольного магнитного поля на распределение частот колебаний пластин и оболочек. Установлено снижение частот колебаний цилиндрических оболочек под действием продольного магнитного поля и смещение точки сгущения собственных частот в область более низких частот. В данной работе исследовано влияние поперечного магнитного поля на распределение собственных частот пологих цилиндрических и сферических оболочек, получены асимптотические оценки для плотности собственных частот колебаний оболочек, проведено сопоставление с эмпирическими результатами численного эксперимента.

Крысько В.А., Папкова И.В., Солдатов В.В. «Анализ нелинейных хаотических колебаний пологих оболочек вращения с помощью вейвлет-преобразования» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 107-117 (2010)

Исследуются сложные колебания гибких осесимметричных пологих оболочек при действии поперечного знакопеременного давления. Кроме традиционных методов нелинейной динамики для анализа перехода колебаний из гармонических в хаотические впервые применяется вейвлет-преобразование. Анализируется применение вейвлетов типа Гаусса (порядка производных от m=1 до m=8), а также вейвлета Морле (как действительного, так и комплексного). Делается вывод о предпочтительном применении комплексного вейвлета Морле перед вейвлетами Гаусса и действительным вейвлетом Морле. Это связано со структурой вейвлетов – чем больше имеет вейвлет нулевых моментов, тем лучше он описывает сложные колебания гибких пологих оболочек.

Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. «Аномальная зависимость от длины частот колебаний стержня в упругой среде» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 126-133 (2010)

Численно-аналитическими методами изучено влияние длины на собственные частоты и формы плоских поперечных колебаний тонкого неоднородного стержня. Установлено, что наличие внешней упругой среды, описываемой моделью Винклера, может приводить к аномальному эффекту – увеличению собственных частот низших мод колебаний при непрерывном увеличении длины стержня. Выявлены весьма тонкие свойства этого явления при изменении длины, номера моды и способа крепления. Отдельно изучены колебания для стандартных граничных условий: защемление, шарнир, фиксация касательной, свободный конец. Проведен расчет простых примеров, иллюстрирующих аномальную зависимость частоты собственных колебаний стержня в сильно неоднородной упругой среде с разными граничными условиями.

Лычев С.А., Лычева Т.Н., Манжиров А.В. «Нестационарные колебания растущей круглой пластины» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 199-208 (2011)

Исследуются вынужденные колебания растущей по толщине круглой пластины в случае малых деформаций. Считается, что материал пластины упругий и изотропный, а ее толщина непрерывно увеличивается в результате притока материала извне. Полагается, что толщина растущей пластины изменяется во времени, но не зависит от пространственных координат. Кроме того, в процессе роста положение срединной поверхности не изменяется, т.е. наращивание пластины происходит симметрично на обеих лицевых поверхностях.

Нестеров С.В. «Изгибные колебания квадратной пластины, защемленной по контуру» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 159-165 (2011)

Построены аналитические выражения для вычисления собственных частот и форм изгибных колебаний защемленной по контуру квадратной однородной пластины. Дана оценка погрешности сравнением с известными высокоточными расчетами. Произведено также сравнение аналитических расчетов с экспериментальными данными, полученными автором резонансным методом. Установлено, что аналитические и соответственно численные результаты совпадают с экспериментальными с погрешностью менее 1%. Высокоточное определение собственных частот требуется при создании современных прецизионных электромеханических преобразователей и анализа качества их функционирования. Предложенная методика исследований и алгоритм расчета могут быть использованы для исследования изгибных колебаний пластин при других типах граничных условий.

Попов В.Г. «Взаимодействие плоской гармонической волны с тонким жестким включением в виде цилиндрической оболочки» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 39-47 (2012)

Изложено решение задачи по определению напряженного состояния в упругой матрице, содержащей жесткое включение в виде тонкой цилиндрической оболочки. Предполагается, что в матрице в условиях осевой симметрии (осью симметрии является ось включения ) происходят гармонические колебания и между включением и матрицей выполнены условия полного сцепления. Колебания вызываются распространением плоской продольной волны с фронтом, перпендикулярным оси включения. Метод решения основан на представлении перемещений в матрице разрывными решениями уравнений осесимметричных колебаний упругой среды с неизвестными скачками напряжений на поверхности включения. В результате реализации граничных условий относительно этих скачков получена система интегральных уравнений. Ее решение строится численно методом механических квадратур с использованием специальных квадратурных формул для особых интегралов. Проведено численное исследование влияния на концентрацию напряжений возле включения отношения его геометрических размеров и частоты распространяющейся волны.

Панфилов И.А., Устинов Ю.А. «Гармонические колебания и волны в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 48-58 (2012)

На основе прикладной теории типа Кирхгофа–Лява исследуются особенности гармонических волн и колебаний оболочки с винтовой анизотропией. Основное внимание уделено изучению осесимметричных и изгибных колебаний. В обоих случаях построены дисперсионные уравнения и проведен качественный и численный анализ их корней и отвечающих им элементарным решениям. Показано, что в осесимметричном случае винтовая анизотропия порождает связь между продольными и крутильными колебаниями, которая математически описывается амплитудными коэффициентами однородных волн. Для оболочки с жестко заделанными торцами исследовано поведение первых двух собственных частот от длины оболочки и угла наклона винтовых линий – геометрическим параметра винтовой анизотропии. Для анализа степени преобразования продольных колебаний в продольно-крутильные рассмотрена краевая задача, в которой на одном торце задаются продольные колебания, а второй торец свободен от усилий и моментов. В случае изгибных колебаний также исследованы две задачи для полубесконечной оболочки. В первой задаче волны возбуждаются кинематическим способом путем задания гармонических колебаний торца оболочки плоскости осевого сечения и показывается, что в дали от торца ось в общем случае описывает некоторые замкнутые траектории. Во второй задаче исследуется отражение однородной волны, набегающей на торец оболочки. Показано, что при некотором сочетании параметров возникает явление "краевого резонанса".

Аврамов К.В., Бреславский И.Д. «Колебания прямоугольных в плане пологих оболочек с двумя свободно опертыми противоположными краями» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 86-95 (2013)

Аналитически найдены точные собственные формы линейных колебаний прямоугольной в плане пологой оболочки с двумя свободно опертыми противоположными краями. Эти формы использованы для получения дискретной модели колебаний пологой оболочки при геометрически нелинейном деформировании. Методом гармонического баланса исследованы свободные и вынужденные нелинейные колебания при внутреннем резонансе. Анализируется устойчивость по Ляпунову полученных периодических колебаний.

Нетребко А.В. «Распространение волн в упругой конструкции, моделирующей разрезной стержень Гопкинсона» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 4, с. 135-144 (2013)

Путем преобразования Лапласа по времени исследована задача о распространении волны нагрузки в составной упругой конструкции, моделирующей разрезной стержень Гопкинсона. Проведены эксперименты для сравнения теоретических и экспериментальных результатов. Полученные результаты могут быть положены в основу обоснования методики стержня Гопкинсона.

Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. «Влияние дефекта массы на частоты и формы продольных колебаний стержня» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 135-144 (2014)

Исследована задача влияния дефектов сложной формы на собственные частоты и формы колебаний упругих систем. Установлены на примере стержня общие свойства дефектов различной физической природы: массы, упругости и поперечного сечения. Введены понятия поврежденности и критерий, позволяющий проводить дефектоскопию методом неразрушающего контроля. Подробнее решена задача для свободного стержня, содержащего дефект массы. На основе резонансного метода проведено высокоточное экспериментальное определение дефекта массы, подтверждена эффективность разработанного численно-аналитического и экспериментального подходов к исследованию свойств упругих систем с дефектами.

Мошинский А.И. «Об уравнении продольных колебаний стержня с коэффициентами, периодически зависящими от координаты» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 49-62 (2014)

Рассматривается уравнение малых продольных колебаний стержня, когда периодически меняющиеся коэффициенты имеют "провалы" (резкие уменьшения величины) в некоторой пространственной точке внутри интервала периодичности. В области минимума коэффициентов предлагается локальное описание процесса уравнением приближения пограничного слоя. Основное внимание уделяется анализу этого уравнения. Устанавливается иерархия по времени упрощенных моделей для описания данного процесса.

Акуленко Л.Д., Георгиевский Д.В., Нестеров С.В. «Спектр поперечных колебаний участка движущегося стержня при воздействии продольной нагрузки» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 139-144 (2015)

Исследованы собственные поперечные колебания участка постоянной длины прямолинейного тонкого стержня, движущегося вдоль нейтральной линии недеформированного состояния. Перемещение происходит между двумя фиксированными соосными направляющими (зажимами), расстояние между которыми равно длине колеблющейся части стержня. Кроме того предполагается, что вдоль нейтральной линии действует постоянная продольная сила, причем существенно различаются два случая: сила растягивает стержень; сила сжимает стержень. Процесс колебаний описывается несамосопряженной обобщенной краевой задачей. Для произвольных величин скорости перемещения стержня и продольных сил посредством численно-аналитической процедуры с заданной точностью определены и проанализированы собственные частоты возможных мод колебаний. Установлены глобальные свойства спектра в зависимости от скорости, продольной силы и номера моды. Для высших мод обнаружены области неоднозначной зависимости частот и отсутствия более низких частот колебаний при увеличении скорости движения стержня, а также от величины и направления продольной силы. Установлено, что картина парциальных колебаний с позиции неподвижного наблюдателя кардинально отличается от общеизвестной для неподвижного стержня. Полученные результаты интересны применительно к колебаниям различных элементов движущихся упругих сред, в том числе для систем с подвижными границами. Они могут находить технические применения в задачах динамики и прочности приборов, машин и механизмов в текстильной промышленности при производстве нитей и канатов, в металлургии, в частности, при прокатке металлических стержней и полос, протяжке проволоки, производстве изделий из пластмасс и рулонов бумаги. Разработанная методика вычисления собственных частот и форм применима для анализа поперечных колебаний участков транспортных трубопроводов с быстро протекающей жидкостью.

Кузнецова Е.Л., Леоненко Д.В., Старовойтов Э.И. «Собственные колебания трехслойных круговых цилиндрических оболочек в упругой среде» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 3, с. 152-160 (2015)

Рассмотрены свободные колебания трехслойной цилиндрической круговой оболочки в упругой среде. Для изотропных несущих слоев приняты гипотезы Кирхгофа–Лява. В толстом заполнителе учитывается работа поперечного сдвига и обжатие по толщине. Изменение перемещений принято линейным по поперечной координате. На границах контакта используются условия непрерывности перемещений. Для упругой безынерционной внешней среды принята гипотеза Винклера. Численно исследовано изменение частот собственных колебаний в зависимости от жесткостных характеристик системы оболочка–среда.

Расулова Н.Б., Шамилова Г.Р. «Распространение волн напряжений в прямоугольном брусе» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 4, с. 144-152 (2016)

Исследован процесс распространения нестационарных волн в прямоугольном брусе, с позиции точной трехмерной теории упругости. Движение возникает вследствие действий ударных нормальных сил, приложенных в торцевую площадку полубесконечного бруса, все четыре боковые поверхности которого свободны от усилий. Именно эти однотипные условия выступают усложняющими факторами в решении этой задачи. В ранее известных решениях на боковых сторонах частично или полностью задаются условия смешанного типа, благодаря которым удается разделить граничные значения различных волн на этих поверхностях. При отсутствии этого упрощающего фактора построить решения, удовлетворяющие всем свободным боковым условиям оказывается проблематично. В статье для постоянного распределения ударной нагрузки угаданы решения в изображениях интегральных преобразований и построены аналитические решения для начальных стадий процесса.

Малышев А.П. «Численное моделирование волновых процессов в балке, соприкасающейся с шероховатой поверхностью» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 149-155 (1998)

Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. «Колебания взаимодействующих систем с неоднородными распределенными параметрами» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 15-25 (1999)

Кирпиченко В.Н., Швейко Ю.Ю. «О влиянии гидростатики на частоты колебаний оболочек топливных баков жидкостных ракет-носителей» Космонавтика и ракетостроение, № 3, с. 46-51 (2014)

Приводятся теоретические и экспериментальные результаты исследования собственных частот неосесимметричных колебаний оболочек топливных баков жидкостных ракет. Показывается, что при уменьшении глубины заправки бака жидким топливом, в зависимости от геометрических параметров бака (для фиксированного числа волн упругой поверхности оболочки в окружном направлении), собственные частоты могут либо непрерывно возрастать, либо иметь минимум внутри интервала заправок.

Афанасьев А.В., Бычков В.Б., Кущев В.Н., Шубралова Е.В. «Акустический фон российского сегмента международной космической станции: результаты измерений и проблемы его снижения» Космонавтика и ракетостроение, № 5, с. 61-69 (2015)

Представляются данные статистической обработки результатов измерений шума и ультразвука, проведённых в обитаемых модулях российского сегмента Международной космической станции экипажами космонавтов в 2008–2014 гг., в сопоставлении с действующими нормами. Отмечается превышение норм звукового давления в служебных модулях и функционально-грузовом блоке. Анализируется ультразвуковой фон в аспекте контроля герметичности с помощью бортового течеискателя. Рассматриваются пути снижения шумности в модулях орбитальной станции, включая как уже применявшиеся, так и перспективные методы активного гашения звука.

Корчевская Е.А., Дамирова Д.В., Доронин И.Н., Никонова Т.В. «Асимптотическое решение дифференциальных уравнений, описывающих колебания слоистых вязкоупругих цилиндрических оболочек при давлении» Вестник Витебского государственного университета (Веснiк Вiцебскага дзяржаyнага унiверсiтэта), № 3, с. 12-17 (2013)

Рассматривается задача о свободных локализованных колебаниях шарнирно опертой слоистой цилиндрической вязкоупругой оболочки, находящейся под действием давления. В качестве исходных уравнений использованы уравнения уточненной теории слоистых оболочек, учитывающие поперечные сдвиги. Для решения данной задачи предложена методика, использующая асимптотический комплексный ВКБ-метод, согласно которой исходная начально-краевая задача сведена к последовательности одномерных краевых задач. Последовательное рассмотрение краевых задач позволяет найти искомую частоту колебаний и соответствующую моду, локализованную вблизи образующей. Для автоматизации расчетов частот собственных колебаний, а также решения задачи оптимального проектирования слоистых оболочек разработано приложение на языке программирования C++ в среде разработки C++ Builder, позволяющее вычислять при заданных физических и геометрических параметрах оболочки частоты собственных колебаний, критические нагрузки, а также оптимальные толщины заполнителя.

Асташев В.К., Бабицкий В.И. «Резонансные колебания вязкоупругого стержня с ограничителем» Известия Академии наук СССР. Механика твердого тела, № 4, с. 176-182 (1972)

Горлов С.И. «Нелинейная задача о волнах, возникающих на границе раздела сред, при одновременных разгонных и колебательных движениях кругового цилиндра» Вычислительные технологии, 3, № 6, с. 21-29 (1998)

Разработан и численно реализован метод решения нелинейных нестационарных задач о движении кругового цилиндра вблизи границы раздела двух жидких сред. Исходная краевая задача сведена к системе сингулярных интегральных уравнений относительно интенсивностей особенностей, моделирующих жидкие и твердые границы, и функции, описывающей форму границы раздела. Подробно исследована задача о вертикальных и горизонтальных колебаниях кругового цилиндра, совершающего разгон из состояния покоя под свободной поверхностью тяжелой жидкости. Приведены результаты расчетов профилей генерируемых волн, распределенных и суммарных гидродинамических характеристик контура. Рассмотрены также чисто колебательные движения. В ряде случаев проведено сопоставление с результатами, полученными по линейной теории.

Лазарев Н.П. «Существование экстремальной формы трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко» Сибирский журнал чистой и прикладной математики, 11, № 4, с. 49-62 (2011)

Рассматривается вариационная задача о равновесии упругой пластины (модели Тимошенко), содержащей трещину. При этом на кривой, описывающей трещину, задаются краевые условия вида неравенств. Исследуется зависимость решений указанной задачи от формы кривой, задающей трещину. Доказано существование экстремальной кривой, доставляющей экстремум для функционала качества, описывающего деформацию пластины. Установлена слабая сходимость решений в пространстве Соболева при стремлении к нулю параметра, описывающего возмущение трещины. Доказано, что если, дополнительно, функция внешних нагрузок удовлетворяет условию Липшица, то решения сходятся сильно.

Лазарев Н.П. «Метод фиктивных областей в задаче о равновесии пластины Тимошенко, контактирующей с жестким препятствием» Сибирский журнал чистой и прикладной математики, 13, № 1, с. 91-104 (2013)

Исследуется нелинейная задача о равновесии пластины с условиями типа Синьорини на части границы. Методом фиктивных областей установлено, что исходную задачу можно получить с помощью предельного перехода в семействе вспомогательных задач, формулируемых в более широкой области. Каждая задача семейства моделирует равновесие пластины, содержащей трещину. При этом на внутренней границе, соответствующей трещине, налагаются условия непроникания противоположных берегов трещины в виде неравенств. Для вариационных формулировок рассматриваемых задач найдены эквивалентные дифференциальные постановки.

Шляхин Д.А. «Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины» Вестник Самарского государственного университета, № 6, с. 124-135 (2012)

Построено новое замкнутое решение осесимметричной нестационарной задачи теории электроупругости жестко закрепленной сплошной круглой пьезокерамической пластины. Расчетные соотношения получены методом разложения по собственным вектор-функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. Численные результаты позволяют проанализировать влияние толщины пластины на частотный спектр собственных колебаний, определить напряженно-деформированное состояние исследуемого элемента, а также потенциал и напряженность индуцируемого электрического поля.

Бейлин А.Б., Пулькина Л.С. «Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными условиями» Вестник Самарского государственного университета, № 3, с. 9-19 (2014)

Рассматриваются одномерные продольные колебания твердого стержня, закрепленного на концах при помощи сосредоточенных масс и пружин. В качестве математической модели используется стержень Рэлея. Доказана однозначная разрешимость задачи.

Бейлин А.Б., Пулькина Л.С. «Задача о колебаниях стержня с нелинейным затуханием второго порядка» Вестник Самарского государственного университета, № 3, с. 9-20 (2015)

Рассматривается начально-краевая задача с динамическим нелинейным граничным условием для псевдогиперболического уравнения. Она представляет собой математическую модель одномерных продольных колебаний короткого толстого стержня, называемую стержнем Рэлея, с нелинейным затуханием второго порядка. Доказаны существование и единственность обобщенного решения. Доказательство базируется на полученных в работе априорных оценках и методе Галеркина. Предложенный способ доказательства существования решения позволяет построить приближенные решения задачи в форме, удобной для практического применения.

Денисов С.Л., Медведский А.Л. «Разработка и верификация численно-аналитического метода расчёта отклика пластин на широкополосное акустическое воздействие» Труды Московского авиационного института, № 91, с. 1 (2016)

Предложен гибридный численно-аналитический метод расчёта отклика и долговечности авиационных конструкций типа изотропных металлических пластин, подвергающихся широкополосному акустическому воздействию при различных видах пространственного распределения акустического поля по поверхности пластины. Рассматриваются следующие модели пространственного распределения акустического поля: полностью коррелированное поле, поле с конечными масштабами корреляции, дельта-коррелированное поле и диффузное поле. Проводится сравнение среднеквадратичных напряжений и долговечности, вычисленных с помощью гибридного метода, с точным решением, полученным для свободно-опёртой по периметру пластины. Сравнение результатов вычислений демонстрируют высокую степень согласования расчётов, однако проявляют существенную зависимость от пространственной структуры акустического поля, формы частотного акустического спектра и числа учитываемых форм колебаний.

Латифов Ф.С., Алиев А.А. «Свободные колебания ребристых цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью, при осевом сжатии» Механика машин, механизмов и материалов, № 2, с. 61-63 (2009)

Исследуются колебания цилиндрических оболочек, усиленных дискретно распределенными перекрестными системами ребер и заполненных жидкостью, при осевом сжатии. Предполагается, что ребра равномерно распределены по поверхности оболочки. Задача решена энергетическим способом. Используя принцип Гамильтона–Остроградского, построены уравнения частот и найден наименьший корень. Проведен анализ влияния параметров внешней среды и сжимающей силы на параметры частоты собственных колебаний системы.

Гулгазарян Г.Р., Гулгазарян Р.Г., Михасев Г.И. «О свободных интерфейсных и краевых колебаниях тонких упругих полубесконечных круговых цилиндрических оболочек со свободным торцом» Механика машин, механизмов и материалов, № 2, с. 34-46 (2016)

Исследуются свободные краевые и интерфейсные колебания полубесконечных замкнутых и незамкнутых цилиндрических оболочек, составленных из полубесконечных и конечных ортотропных тонких упругих цилиндрических оболочек с разными упругими свойствами. Используя систему динамических уравнений, соответствующих классической теории ортотропных цилиндрических оболочек, выводятся дисперсионные уравнения и асимптотические формулы для нахождения собственных частот краевых и интерфейсных колебаний составной цилиндрической оболочки. Установлены асимптотические связи между дисперсионными уравнениями рассматриваемых задач и аналогичных задач для полубесконечной составной пластины и полубесконечной пластины-полосы соответственно. Приводится механизм, с помощью которого расчленяются возможные типы краевых и интерфейсных колебаний. На примерах цилиндрических оболочек с разными длинами конечной составляющей приведены приближенные значения безразмерной характеристики собственной частоты и характеристики затухания соответствующих форм колебаний.

Сапожников С.Б., Фот Е.Я., Мокеев В.В. «Экспериментальное и численное исследование колебаний тонкостенной оболочки, заполненной вязкоупругой жидкостью» Известия Челябинского научного центра УрО РАН, № 4, с. 66-70 (2004)

Проведены экспериментальные и расчетные исследования динамических характеристик упругих оболочек, наполненных вязкоупругой жидкостью. Эти исследования показали, что методика, основанная на схеме Лагранжа дает удовлетворительное совпадение частот свободных колебаний как в случае скольжения, так и прилипания вязкой жидкости к поверхности оболочки; учет прилипания вязкой жидкости к поверхности дает более близкие к экспериментальным значения коэффициентов демпфирования, по сравнению со схемой проскальзывания, что может служить критерием правильности выбора расчетной схемы.

Асташев В.К., Крупенин В.Л. «Продольные колебания тонкого стержня, взаимодействующего с неподвижным ограничителем» Вестник научно-технического развития, № 8, с. 41-50 (2016)

Приводится решение задачи о продольных колебаниях упругого стержня, взаимодействующего с односторонним ограничителем. Методами частотно временного анализа получены точные решения, описывающие свободные и вынужденные колебания. Построены частотные характеристики системы. Дается сравнение найденных точных и полученных ранее приближенных решений.

Королева (Кикоть) И.П., Маневич Л.И. «Осцилляторная цепь с изгибной жесткостью на упругой подложке в условиях, близких к акустическому вакууму» Нелинейная динамика, 12, № 3, с. 311-325 (2016)

Представлены результаты аналитического и численного исследования нестационарной плоской динамики струны с равномерно распределенными дискретными массами при отсутствии предварительного натяжения и с учетом относительно малой изгибной жесткости. Каждая масса испытывает также действие упругой подложки с нелинеаризуемой в условиях плоского движения характеристикой, которая тоже представляет собой струну без предварительного натяжения. Наиболее важный предельный случай, соответствующий низкоэнергетическим поперечным возбуждениям, рассматривается с учетом геометрической нелинейности. Поскольку такие возбуждения описываются приближенными уравнениями, в которых наиболее существенный вклад вносят кубические упругие силы, колебания происходят фактически в условиях, близких к акустическому вакууму (термин «акустический вакуум» означает, что рассматриваемая система не имеет не зависящих от амплитуд колебаний динамических характеристик, таких как собственные частоты и скорость звука). Получено адекватное аналитическое описание резонансных существенно нестационарных процессов в рассматриваемой системе, соответствующих интенсивному энергообмену между ее частями (кластерами) в области низких частот. Сформулированы условия локализации энергии на одном из кластеров. Полученные аналитические результаты подтверждены данными компьютерного моделирования. Отмечено, что рассматриваемая система может использоваться как энергетическая ловушка повышенной эффективности.

Алабужев А.А. «Осесимметричные колебания цилиндрической капли в сосуде конечного размера» Математическое моделирование в естественных науках, № 1, с. 17-21 (2016)

Исследуются собственные и вынужденные колебания капли жидкости в сосуде конечного объема с несжимаемой жидкостью. В равновесном состоянии капля имеет форму цилиндра, равновесный краевой угол прямой. На сосуд действует сила вибраций, параллельная оси симметрии капли. Для описания движения контактной линии используется эффективное граничное условие: скорость движения контактной линии пропорциональна сумме отклонения краевого угла. Изучена осесимметричная мода собственных колебаний, исследована зависимость частот и декрементов затухания от параметров задачи. Получены амплитудно-частотные характеристики для боковой поверхности капли, исследовано влияние размеров сосуда на вынужденные колебания.

Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. «Континуальная модель изгиба и колебаний многослойной нанопластины» Физическая мезомеханика: Международный журнал, 19, № 6, с. 27-33 (2016)

Предложена приближенная модель для вычисления прогиба и частот свободных колебаний шарнирно опертой многослойной прямоугольной нанопластины с графеновыми слоями. Межслойные промежутки моделируются фиктивными пластинами малой жесткости. Полученная многослойная пластина заменяется эквивалентной пластиной Тимошенко–Рейсснера. Для прогибов и частот колебаний получены явные формулы.

Асташев В.К., Крупенин В.Л. «Экспериментальное исследование колебаний струн, взаимодействующих с точечными ограничителями» Доклады академии наук, 379, № 3, с. 329-333 (2001)

Быков В.Г. Сейсмические волны в пористых насыщенных породах (1999). 108 с.

Ковалев В.А. «Синтез акустического давления, рассеянного упругой цилиндрической оболочкой, основанный на сращивании асимптотических приближений» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 4, с. 215-224 (2003)

Нетребко А.В., Новотный С.В., Созоненко Ю.А. «Сравнение решений уравнений динамики цилиндрических оболочек по теориям Тимошенко и Кирхгофа–Лява» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 3, с. 140-149 (1999)

Ильгамов М.А., Хакимов А.Г. «Отражение затухающей бегущей волны от надреза в стержне» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 4, с. 116-125 (2011)

Исследуется отражение от поперечного надреза и прохождение продольной затухающей бегущей волны в стержне. Использована простейшая модель напряженно-деформированного состояния в зоне надреза. Получена зависимость решения от параметров надреза. Решение обратной задачи позволяет определить координату надреза и параметр, содержащий его глубину и длину, по данным падающей и отраженной волн в месте наблюдения.

Литвин О.В., Попов В.Г. «Взаимодействие плоских гармонических волн с тонким упругим включением нулевой изгибной жесткости» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 95-100 (2008)

Решена задача о взаимодействии плоских упругих гармонических волн с тонким упругим включением в виде полосы. Включение содержится в неограниченном теле (матрице), которое находится в условиях плоской деформации. Учитываются нормальные усилия, приложенные со стороны среды к боковым кромкам включения. В силу малой толщины включения его изгиб-ная жесткость считается нулевой и предполагается, что сдвиговые перемещения в любой его точке совпадают с перемещениями соответствующих точек его срединной плоскости. Перемещения на самой срединной плоскости находятся из соответствующего уравнения теории пластин. Метод решения состоит в представлении перемещений в виде разрывных решений уравнений Ламе с последующим определением неизвестного скачка из сингулярного интегрального уравнения. Последнее решено численно коллокационным методом. Получены формулы для приближенного расчета КИН вблизи концов включения.